高二上学期数学期中考试
以下是小编在期末之际为大家推荐有关高二数学的上学期期中测试题和部分解答题的答案，希望对大家的考试有所帮助!
高二上学期数学期中考试题
一、填空题(本题共14小题，每小题5分，合计70分。请把答案直接填写在答题纸相应的位置上.)
1. 不等式3-xx-1>0的解集为____ ▲____.
2. 若命题“对 x∈R，x2+4cx+1>0”是假命题，则实数c的取值范围是___ ▲_____.
3.从1、2、3、4中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数大于20的概率为____ ▲____.
4. 某人5 次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x,8,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，则其方差为____ ▲____.
5.如果执行如图所示的流程图，那么输出的S=___ ▲_____.
6.已知△ABC的三个内角A、B、C,“A>B”是“sinA>sinB”的_______ ▲________条件.(选填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要)
7.在区间[-5,5]内随机地取出一个数a，则使得a∈{a|-a2+a+2>0}的概率为____ ▲____.
8. 已知椭圆x210-m+y2m-2=1，长轴在y轴上.若焦距为4，则m=___ ▲____.
9.已知变量x、y满足x-4y+3≤03x+5y-25≤0x≥1，则 的最大值______ ▲_______.
10. 已知正数x，y满足x+ty=1，t是给定的正实数.若1x+1y的最小值为16，则正实数t的值是 ▲ .
11.已知函数f(x)=21-x，x≤1，2-log2x，x>1，则满足f(x)≥1的x的取值范围是_______▲ _____.
12.已知椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，过椭圆右焦点且与x轴垂直的直线与椭圆交于P、Q两点，x轴一点M( ,0)，若△PQM为正三角形，则椭圆的离心率等于____▲ ____.
13. 不等式a2+8b2≥λb(a+b)对任意a、b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为______▲ ______.
14.设a=x2-xy+y2，b=pxy，c=x+y，若对任意的正实数x、y，都存在以a、b、c为三边长的三角形，则实数p的取值范围是____▲ ______.
二、解答题(本题共6小题，合计90分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题14分)设p：实数x满足x2-4ax+3a2<0，其中a>0，q：实数x满足 .
(1) 若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围;
(2) 若 p是 q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
16.(本小题14分).已知函数f(x)=x2+2x+ax，x∈[1，+∞).
(1) 当a=4时，求函数f(x)的最小值;
(2) 若对任意x∈[1，4]，f(x)>6恒成立，试求实数a的取值范围.
17.(本小题14分)从参加高二年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：
(1) 求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图;
(2)根据上面补充完整的频率分布直方图估计出本次考试的平均分;
(3) 用分层抽样的方法在分数段为[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人在分数段[50,60)的概率.
18.(本小题16分) 如图，在直角坐标系xOy中，设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右两个焦点分别为F1、F2. 过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(2，1).
(1) 求椭圆C的方程;
(2) 设椭圆C的一个顶点为B(0，-b)，直线BF2交椭圆C于另一点N，求△F1BN的面积.
19.(本小题16分)某市出租汽车的收费标准如下：在3km以内(含3km)的路程统一按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费. 而出租汽车一次载客的运输成本包含以下三个部分：一是固定费用约为2.3元;二是燃油费，约为1.6元/km;三是折旧费，它与路程的平方近似成正比，且当路程为100km时，折旧费约为0.1元. 现设一次载客的路程为xkm.
(1) 试将出租汽车一次载客的收费F与成本C分别表示为x的函数;
(2) 若一次载客的路程不少于2km，则当x取何值时，该市出租汽车一次载客每km的收益y取得最大值?
20.(本小题16分)设A1、A2与B分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2+y2=1相切.
(1) 求证：1a2+1b2=1;
(2) P是椭圆E上异于A1、A2的一点，直线PA1、PA2的斜率之积为-13，求椭圆E的方程;
(3) 直线l与椭圆E交于M、N两点，且OM→•ON→=0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由.
高二上学期数学期中考试部分答案
二、解答题(本题共6小题，合计90分。请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(本小题14分)解：(1) 由x2-4ax+3a2<0，得(x-3a)(x-a)<0.又a>0，
所以a
当a=1时，1
由 ，得2
即q为真时实数x的取值范围是2
若p∧q为真，则p真且q真，…………………………………………………………………………………5分
所以实数x的取值范围是2
(2) p是 q的充分不必要条件，即 p q，且 q p.
设A={x| p}，B={x| q}，则A B.
又A={x| p}={x|x≤a或x≥3a}, B={x| q}={x≤2或x>3}，则03，
所以实数a的取值范围是1
16.(本小题14分) 解：(1) 由a=4，∴f(x)=x2+2x+4x=x+4x+2≥6，当x=2时，取得等号.
即当x=2时，f(x)min=6.………………………………………………………………………………6分
(没有写等号成立的条件扣2分，如用函数单调性需要证明)
(2) x∈[1，4]，x2+2x+ax>6恒成立，即x∈[1，4]，x2+2x+a>6x恒成立.
等价于a>-x2+4x，当x∈[1，4]时恒成立，
令g(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4，x∈[1，4]，……………………………………………………………10分
∴a>g(x)max=g(2)=4，即.
∴a的取值范围是a>4……………………………………………………………………………………14分
17.(本小题14分)解：(1) 分数在[70,80)内的频率为
1-(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1-0.7=0.3.
又0.310=0.03，补出的图形如下图所示.……………………………………………………………4分
(2) 平均分为：x -=45×0.1+55×0. 15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.答：估计这次考试的平均分是71分.………………………………………………………………………………………8分
(3) 由题意，[40,50)分数段的人数为0.10×60=6人;[50,60)分数段的人数为0.15×60=9人;
在[40,60)的学生中抽取一个容量为5的样本，在[40,50)分数段抽取2人，分别记为m，n;[50,60)分数段抽取3人，分别记为a，b，c，
设从样本中任取2人，至少有1人在分数段[50,60)为事件A，则基本事件空间包含的基本事件有(m，n)、(m，a)、(m，b)、(m，c)、…、(b，c)共10种，则事件A包含的基本事件有(m，a)、(m，b)、(m，c)、(n，a)、(n，b)、(n，c)、(a，b)、(a，c)、(b，c)共9种，
所以P(A)= =0.9.……………………………………………………………………………………14分
18.(本小题16分)解：(1) 由椭圆定义可知|MF1|+|MF2|=2a. 由题意|MF2|=1，∴|MF1|=2a-1.又由Rt△MF1F2可知(2a-1)2=(22)2+1，a>0，∴a=2.又a2-b2=2，得b2=2.
∴椭圆C的方程为x24+y22=1.……………………………………………………………………………6分
(2) 直线BF2的方程为y=x-2.
由 y=x-2x24+y22=1)，得点N的纵坐标为23. ………………………………………………………10分
又|F1F2|=22，
∴S△F1BN=12×2+23×22=83……………………………………………………………………16分
(2) (本小题16分)解：(1) F(x)= ，
即F(x)= .…………………………………………………………………………2分
设折旧费z=kx2，将(100,0.1)代入，
得0.1=1002k 解得k=1105……………………………………………………………………4分
，所以C(x)=2.3+1.6x+1105x2.………………………………………………………………………………6分
(2) 由题意得y=4.7x-1105x-1.6， 2≤x≤30.8-2.5x+1105x， x>3，………………………………………………9分
①当x>3时，由基本不等式，得y≤0.8-225106=0.79(当且仅当x=500时取等号);………12分
②当2≤x≤3时，由y在[2,3]上单调递减，
得ymax=4.72-2105-1.6=0.75-2105<0.79.……………………………………………………………15分
答： 该市出租汽车一次载客路程为500km时，每km的收益y取得最大值.…………………………16分
20.(本小题16分) (1) 证明：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，A1、A2与B分别为椭圆E的左右顶点与上顶点，所以A1(-a,0)，A2(a,0)，B(0，b)，直线A2B的方程是xa+yb=1.
因为A2B与圆C：x2+y2=1相切，所以11a2+1b2=1，
即1a2+1b2=1.…………………………………………………………………………………………4分
(2) 解：设P(x0，y0)，则直线PA1、PA2的斜率之积为
kPA1•kPA2=y0x0+a•y0x0-a=y20x20-a2=-13?x20a2+3y20a2=1，而x20a2+y20b2=1，
所以b2=13a2.………………………………………………………………………………………8分
结合1a2+1b2=1，得a2=4，b2=43.
所以，椭圆E的方程为x24+3y24=1.………………………………………………………………10分
(3) 解：设点M(x1，y1)，N(x2，y2).
① 若直线l的斜率存在，设直线l为y=kx+m，
由y=kx+m代入x2a2+y2b2=1，得x2a2+kx+m2b2=1.
化简，得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0(Δ>0).
∴ x1x2=a2m2-a2b2b2+a2k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=a2k2m2-a2b2k2b2+a2k2+km-2a2kmb2+a2k2+m2=b2m2-a2b2k2b2+a2k2.
因为OM→•ON→=0，所以x1x2+y1y2=0.
代入，得(a2+b2)m2-a2b2(1+k2)=0.
结合(1)的1a2+1b2=1，得m2=1+k2.