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数学和差化积公式的记忆诀窍

时间: 雪珠2 高一数学

  积化和差,指初等数学三角函数部分的一组恒等式。可以通过展开角的和差恒等式的手段来证明。 无论乘积项中的三角函数是否同名,化为和差形式时,都应是同名三角函数的和差。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。

  和差化积公式的形式比较复杂,记忆中以下几个方面是难点,下面指出了各自的简单记忆方法。

  如何只记两个公式甚至一个

  我们可以只记上面四个公式的第一个和第三个。

  而第二个公式中的-sin β=sin(β+π),也就是sin α-sin β=sin α+sin(β+π),这就可以用第一个公式解决。

  同理第四个公式中,cos α-cos β=cos α+cos(β+π),这就可以用第三个公式解决。

  如果对诱导公式足够熟悉,可以在运算时把cos全部转化为sin,那样就只记住第一个公式就行了。

  用的时候想得起一两个就行了。

  结果乘以2

  这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和cos的值域都是[-1,1],其积的值域也应该是[-1,1],而和差的值域却是[-2,2],因此乘以2是必须的。

  也可以通过其证明来记忆,因为展开两角和差公式后,未抵消的两项相同而造成有系数2,如:

  cos(α-β)-cos(α+β)

  =[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)]

  =2sinαsinβ

  故最后需要乘以2。

  只有同名三角函数能和差化积

  无论是正弦函数还是余弦函数,都只有同名三角函数的和差能够化为乘积。这一点主要是根据证明记忆,因为如果不是同名三角函数,两角和差公式展开后乘积项的形式都不同,就不会出现相抵消和相同的项,也就无法化简下去了。

  乘积项中的角要除以2

  在和差化积公式的证明中,必须先把α和β表示成两角和差的形式,才能够展开。熟知要使两个角的和、差分别等于α和β,这两个角应该是(α+β)/2和(α-β)/2,也就是乘积项中角的形式。

  注意和差化积和积化和差的公式中都有一个“除以2”,但位置不同;而只有和差化积公式中有“乘以2”。

  使用哪两种三角函数的积

  这一点较好的记忆方法是拆分成两点,一是是否同名乘积,二是“半差角”(α-β)/2的三角函数名。

  是否同名乘积,仍然要根据证明记忆。注意两角和差公式中,余弦的展开中含有两对同名三角函数的乘积,正弦的展开则是两对异名三角函数的乘积。所以,余弦的和差化作同名三角函数的乘积;正弦的和差化作异名三角函数的乘积。

  (α-β)/2的三角函数名规律为:和化为积时,以cos(α-β)/2的形式出现;反之,以sin(α-β)/2的形式出现。

  由函数的奇偶性记忆这一点是最便捷的。如果要使和化为积,那么α和β调换位置对结果没有影响,也就是若把(α-β)/2替换为(β-α)/2,结果应当是一样的,从而(α-β)/2的形式是cos(α-β)/2;另一种情况可以类似说明。

  余弦-余弦差公式中的顺序相反/负号

  这是一个特殊情况,完全可以死记下来。

  当然,也有其他方法可以帮助这种情况的判定,如(0,π]内余弦函数的单调性。因为这个区间内余弦函数是单调减的,所以当α大于β时,cosα小于cosβ。但是这时对应的(α+β)/2和(α-β)/2在(0,π)的范围内,其正弦的乘积应大于0,所以要么反过来把cosβ放到cosα前面,要么就在式子的最前面加上负号。

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