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直线的倾斜角和斜率教学设计

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  《直线的倾斜角和斜率》教学设计

  三、教学目标

  1.知识与技能:使学生理解倾斜角与斜率的概念,了解二者之间的关系,会求过已知两点的直线的斜率;

  2.过程与方法:通过对倾斜角与斜率的探讨,培养学生转化的思想,提高解决问题的能力;

  3.情感、态度与价值观:在探索倾斜角与斜率的关系过程中,明确倾斜角的变化对斜率的影响,并在其中体验严谨的治学态度.

  四、教学重点与难点

  重点:倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式;

  难点:斜率;

  对难点的处理:先从简单的过原点的直线入手,再分倾斜角为锐角、钝角的情况去分析.

  五、教学策略

  对于“倾斜角与斜率”的教学,教师创设问题情境,学生在问题的激励下主动探究,教学方法采用师生互动式;而“过两点的直线的斜率公式”的教学则采用“学生探索、教师适时讲解”的方法.

  六、教学过程

  (一)新知的引入:

  在平面直角坐标系内,画出几条不同直线,诱导学生思考,有何不同?

  从而进一步设计决定直线的位置有哪些条件呢?

  (设计意图:学生在教师“问题串”的引导下去思考,得出本章重要知识点)

  (二)概念的讲解:通过讨论我们已经知道,决定直线的位置的条件是一个点与方向.那么如何刻划直线的方向呢?学生肯定会想到角,也会想到用纵坐标的变化量与横坐标的变化量的比值.这时就需要教师的适时点播—引出刻划直线的方向的两个量---直线的倾斜角和斜率.

  一、直线的倾斜角与斜率

  1. 倾斜角(

  (1)倾斜角的定义:在平面直角坐标系中,直线与轴相交时,轴正向与直线向上方向之间所成的角;注:强调当直线与坐标轴轴平行时的倾斜角。

  提问:倾斜角的范围是什么?(让学生自己去解决)

  (2)倾斜角的范围:.

  日常生活中,我们用坡度来刻划道路的“倾斜程度”,坡度即坡面的铅直高度和水平长度的比;为了用坐标的方法刻划直线的倾斜角,引入直线的斜率概念(也可以从一次函数的解析式引入,其中的K就是斜率.)

  2.斜率让学生任画一条直线,类比坡度的方法,用坐标的方法刻划“直线的坡度”-斜率;

  (强调若直线倾斜角相等,则斜率也相等)

  教师定义:当横坐标从增加到时,纵坐标从增加到称为直线的斜率;

  提问:由此定义,你能发现斜率的其他形式的定义吗?

  再问:若倾斜角为锐角,求斜率的取值范围;若倾斜角在锐角内变化,斜率如何变化?

  (三)例题的讲解(7分钟)

  例1:求下列直线的斜率:

  (1) y=x (2)y=1 (3)x=0.

  (四)课堂练习

  (五)本节课小结

  八、设计反思

  在平面解析几何《直线与方程》的教学中,教师应帮助学生经历如下的过程:首先将几何问题代数化,用代数的语言描述几何要素及其关系,进而将几何问题转化为代数问题;处理代数问题;分析代数结果的几何含义,最终解决几何问题。这种思想应贯穿《直线与方程》一章教学的始终,帮助学生不断地体会“数形结合”的思想方法。

  《直线的倾斜角和斜率》说课稿

  我说的课是高中第二册(上)第七章直线和圆的方程第一大节直线的倾斜角和斜率的第一节课。

  一、关于教学目标的确定

  1、 教材的地位及作用

  直线和圆的方程属于解析几何学的基础知识,直线的方程是研究两条直线位置关系的基础,同时也是讨论圆的方程及其它圆锥曲线方程的基础。为进一步研究直线,建立了直线倾斜角的概念,进而建立直线斜率的概念。而作为直线方程的一个简单应用,介绍了简单的线性规划问题。故本节课是学好这一章内容的关键。

  2、 教学目的的认识

  依据教学大纲的目的和要求规定及新课程标准要求,并结合学生的认知基础,我认为本节课的教学目标:

  (1)知识目标:了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念;理解直线的倾斜角和斜率的定义;掌握斜率公式,并会求直线的倾斜角和斜率。

  (2)能力目标:通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示,以提高学生分析、比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路,培养学生综合运用知识解决问题的能力。

  (3)情感目标:帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想,在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系,体现数、形的统一美,激发学生学习数学的兴趣,对学生进行对立统一的辩证唯物主义观点的教育,培养学生勇于探索、勇于创新的精神。

  二、重点、难点分析

  1、本节的重点是直线的倾斜角和斜率概念,及斜率公式.直线的斜率是后继内容展开的主线,无论是建立直线的方程,还是研究两条直线的位置关系,以及讨论直线与二次曲线的位置关系,直线的斜率都发挥着重要作用.因此,正确理解斜率概念,熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键。

  2、本节的难点是对“直线的方程”和“方程的直线”的概念以及对斜率概念的理解.学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受,但是,为什么要定义直线的斜率,为什么把斜率定义为倾斜角的正切这两个问题却并不容易接受。

  三、教法、学法指导

  1、学法辅导:

  (1)学情介绍:

  本课的教学对象是高二年学生,考虑到我校学生的数学基础较好,思维较为活跃,并针对本节课的教学任务,在教学中我通过创设问题情境。

  (2)本节课的教学任务有三大项:倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式。学生思维也对应三个高潮:倾斜角如何定义?为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立?相应的教学过程也有三个阶段:

  ①在教学中首先是创设问题情境,然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向,如何定义这个角呢?学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念。

  ②本节的难点是对斜率概念的理解与过两点的直线的斜率公式的建立。学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向,而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的,而斜率却不这样。学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗?再有,为什么要用倾斜角的正切定义斜率?要解决这些问题,可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题,以及三角函数的定义。

  (3)学生在学习过程中,要学会展开思维,教师的启发、激励,有利于思维的进行;问题情景的创设有利于思维的活跃。但教学是双边的活动,教师要注意观察学生是否动起来,予以情绪调控,使学生有意识地开动脑筋,主动投入。

  2、教法方法:

  斯托利亚尔指出“数学教学是教学活动(思维活动)的教学,而不仅是数学活动的结果——数学知识的教学”。本节内容在教学中宜采用启发式,设计为启发、引导、探究、归纳、总结的教学模式。倾斜角如何定义?为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立?这三项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的。在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境,引发争论,组织交流,归纳总结。把教学内容以问题的形式呈现给学生,以便引起学生进行反思,从而形成必要的认知冲突,最终达到建构新的认知结构。

  四、教学手段

  本节课,除使用常规的教学手段外,我还使用多媒体课件辅助教学。把教学设计的步骤及内容制成课件,利于突破重点、难点,还能节省时间,扩大教学内容,加快教学节奏,体现教改的新理念。

  五、关于教学程序的设计

  (一)知识导入阶段

  利用多媒体展示ssbezier变形曲线及笛卡儿简介,目的是让学生了解数学的发展史,及坐标法对数学发展起了巨大作用。

  (二)知识探索阶段

  (创设问题情景,展现概念形成过程)

  1、直线的方程与方程的直线的定义

  【问题1】有了“一次函数的图象”,为什么还要讲“方程的直线”?

  一次函数的图象是一条直线,它能表示平面上的所有的直线?不能,因为一次函数的图象,与坐标平面上的直线的对应,是一种不完美的对应。坐标平面上,有些直线不能用一次函数表示。(如x=2)那么该怎样修补?

  (方程的解 坐标 直线的点,直线 方程)

  定义:以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点,反过来,这条直线上点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线。

  2、直线倾斜角定义

  【问题2】如何确定一条直线?

  两点确定一条直线.还有其他方法吗?或者说如果只给出一点,要确定这条直线还应增加什么条件?

  学生:思考,回忆,回答:这条直线的方向,或者说倾斜程度。

  (动画演示)展示直线的倾斜度的变化情况。

  【问题3】在坐标系中的一条直线,我们用怎样的角来刻画直线的方向呢?

  讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢?它不仅能解决我们的问题,同时还应该是简单的、自然的。

  学生:展开讨论,学生讨论过程中会有错误和不严谨之处,教师注意引导。

  通过讨论认为:应选择α角来刻画直线的方向.根据三角函数的知识,表明一个方向可以有无穷多个角,这里只需一个角即可(开始时可能有学生认为有四个角或两个角),当然用最小的正角.从而得到直线倾斜角的概念。

  定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线,如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ,那么 就叫做直线 的倾斜角。

  特别地,当 与x轴平行或重合时,规定倾斜角为0°。

  由此定义,角的范围如何? 0°≤α<180°或0≤α<π

  (教师强调三点:(1)直线的方向向上(2) 轴的正方向,(3)最小正角)

  3、 直线斜率的定义

  用倾斜角刻画直线的方向,乃是几何问题,如何把直线方向量化?

  【问题4】为什么要用倾斜角的正切定义斜率?而不用正弦、余弦或余切哪?

  可联想到工程问题中的“坡度”,及三角函数的定义。

  定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。记作 ,即 。

  (动画演示揭示直线倾斜角与斜率的对应关系)强调 定义域与值域的对应关系,及函数的单调性。

  4、 直线过两点斜率公式的推导

  【问题5】如果给定直线的倾斜角 ,我们当然可以根据斜率的定义 =tanα求出直线的斜率;如果给定直线上两点坐标,直线是确定的,倾斜角也是确定的,那么又怎么求出直线的斜率呢?

  即已知两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),求直线P1P2的斜率。

  思路分析:首先由学生提出思路,教师启发、引导,运用正切定义,解决问题。

  ; x1= x2?

  说明:(1)公式适用范围:注意公式中x1≠x2,即直线P1 P2不垂直x轴。因此当直线P1P2不垂直x轴时,由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率,而不需要求出倾斜角。

  (2)公式与P1 和P2的顺序无关,但要注意下标的对应关系。

  (三)知识应用阶段

  我设计了二道例题例1是道斜率与倾斜角概念的辨析题,而例2是课本的例题已知直线的倾斜角求斜率,还设计两道变式题,目的是培养学生的发散思维能力,讨论倾斜角变化:锐角—钝角—抽象角,对斜率的影响,加深同学对斜率与倾斜角对应关系的理解。

  例1:关于直线的倾斜角和斜率,下列哪些说法是正确的: (1)任一条直线都有倾斜角,也都有斜率 ( ) (2)直线的倾斜角越大,它的斜率就越大; ( ) (3)平行于x轴的直线的倾斜角是 ; ( ) (4)两直线的倾斜角相等,它们的斜率也相等; ( ) (5)直线斜率的范围是(-∞,+∞) ; ( ) (6)直线的斜率为tan ,则直线的倾斜角为 ; ( ) 说明:①当直线和x轴平行或重合时,我们规定直线的倾斜角为0°;②直线倾斜角的取值范围是[ ;③倾斜角是90°的直线没有斜率.。④坐标平面内,每一条直线都有唯一的倾斜角,但不是每一条直线都有斜率。 例2: 如图,直线 的倾斜角 =30°,直线 ⊥ ,求 、 的斜率。 分析:对于直线 的斜率,可通过计算 直接获得,而直线 的斜率则需要先求出倾斜角 ,而根据平面几何知识, ,然后再求 即可。

  解: 的斜率 =tan=tan30°= ,

  ∵ 的倾斜角 =90°+30°=120°,

  ∴ 的斜率 =tan120°=tan(180°-60°)

  =-tan60°= 。

  评述:此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率,其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定。

  【变式1】直线 的倾斜角 =150°,直线 ⊥ ,求 的斜率。

  【变式2】已知直线 的倾斜角 ,直线 ⊥ ,求 的斜率及倾斜角。

  (四)在学习小结阶段:带领学生对所学的知识和方法进行梳理,本节须掌握三个概念:直线方程、倾斜角和斜率;两个关系:直线的方程与方程的直线、斜率与倾斜角;两个问题:求倾斜角问题,求斜率问题。

  (五)知识延伸拓展阶段:

  在知识延伸拓展阶段,编制了三道思考题,在于拓宽学生的视野,斜率是联结数与形的纽带。体现了分层教学的思想,达到因材施教的目的。


  看了“直线的倾斜角和斜率教学设计”

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