初二数学二次根式知识点解析

　　一般地，形如√a(a≥0)的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。今天学习啦小编将与大家分享：初二数学二次根式相关知识点解析。具体内容如下：

　　二次根式的定义性质和概念

　　如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。a可以是具体的数，也可以是含有字母的代数式。

　　即：若 ，则x叫做a的平方根，记作x= 。其中a叫被开方数。其中正的平方根被称为算术平方根。

　　关于二次根式概念，应注意：

　　被开方数可以是数 ，也可以是代数式。被开方数为正或0的，其平方根为实数;被开方数为负的，其平方根为虚数。

　　二次根式的性质：

　　1.任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。如正数a的算术平方根是 ，则a的另一个平方根为﹣ ;最简形势中被开方数不能有分母存在。

　　2.零的平方根是零，即 ;

　　3.有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式,也称互为有理化因式。

　　4.无理数可用有理数形式表示, 如: 。

　　二次根式的几何意义

　　1、 (a≥0)[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式;利用此性质在实数范围内因式分解];

　　2、 都是非负数;当a≥0时， ;而 中a取值范围是a≥0， 中取值范围是全体实数。

　　3、c= 表示直角三角形内，斜边等于两直角边的平方和的根号，即勾股定理推论;

　　4、逆用可将根号外的非负因式移到括号内，如

　　﹙a>0﹚ ， ﹙a<0﹚

　　﹙a≥0﹚ ， ﹙a<0﹚

　　5、 注意: ，即具有双重非负性。

　　算术平方根

　　正数a的正的平方根和零的平方根统称为算术平方根，用(a≥0)来表示。

　　0的算术平方根为0.

　　开平方运算

　　求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。

　　化简

　　化简二次根式是初中阶段考试必考的内容，初中竞赛的题目中也常常会考察这一内容。

　　最简二次根式

　　定义概要(❶被开方数不含分母❷被开方数中不含能开得尽的因数或因式)

　　二次根式化简一般步骤：

　　①把带分数或小数化成假分数;

　　②把开方数分解成质因数或分解因式;

　　③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外;

　　④化去根号内的分母，或化去分母中的根号;

　　⑤约分。

　　有理化因式

　　两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式

　　注意﹙①他们必须是成对出现的两个代数式;②这两个代数式都含有二次根式;③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式﹚

　　分母有理化

　　在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。

　　分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程，以下列出分母有理化的几种方法：

　　(1)直接利用二次根式的运算法则：

　　例： ﹙a≥0，b>0﹚

　　(2)利用平方差公式：

　　例： ﹙a≥0，b≥0，a≠b﹚[3]

　　(3)利用因式分解：

　　例： (此题可运用待定系数法便于分子的分解)

　　(4)利用约分：

　　﹙x>0，y>0﹚

　　﹙x>0，y>0﹚

　　分子有理化

　　把分子中的根号化去，叫做分子有理化。

　　﹙a≥0，b≥0，a≠b﹚

　　换元法

　　换元法即把根式中的某一部分用另一个字母代替的方法，是化简的重要方法之一。

　　例：在根式 中，令 ，即可得到

　　原式=

　　分析：通过换元法换元，将根号下的数化简，最后求值。

　　二次根式运算法则

　　乘除法

　　1.积的算数平方根的性质

　　(a≥0，b≥0)

　　2. 乘法法则

　　(a≥0，b≥0)

　　二次根式的乘法运算法则，用语言叙述为：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。

　　3.除法法则 (a≥0，b>0)

　　二次根式的除法运算法则，用语言叙述为：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根。

　　二次根式的应用

　　二次根式的应用主要体现在两个方面：

　　(1)利用从特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解决一些规律探索性问题;

　　(2)利用二次根式解决长度、高度计算问题，根据已知量，求出一些长度或高度，或设计省料的方案，以及图形的拼接、分割问题。这个过程需要用到二次根式的计算，其实就是化简求值。

　　二次根式专项训练题目

　　① 设 . 求 的值(用含有n的代数式标识,其中n为正整数).

　　化简 .

　　②已知 ， ，求 的值

　　③ ，其中 ，

　　④

　　⑤

　　⑥已知x、y满足 ，且x≠0，求 的值

　　⑦设 ，xyz>0且 ，试求 的值