2014泉州市中考数学试卷及答案(3)
22.(9分)(2014•泉州)如图，已知二次函数y=a(x﹣h)2+ 的图象经过原点O(0，0)，A(2，0).
(1)写出该函数图象的对称轴;
(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点?
考点： 二次函数的性质;坐标与图形变化-旋转.
分析： (1)由于抛物线过点O(0，0)，A(2，0)，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB= OA′=1，A′B= OB= ，则A′点的坐标为(1， )，根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y =﹣ (x﹣1)2+ 的顶点.
解答： 解：(1)∵二次函数y=a(x﹣h)2+ 的图象经过原点O(0，0)，A(2，0).
∴抛物线的对称轴为直线x=1;
(2)点A′是该函数图象的顶点.理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，
在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，
∴OB= OA′=1，
∴A′B= OB= ，
∴A′点的坐标为(1， )，
∴点A′为抛物线y=﹣ (x﹣1)2+ 的顶点.
点评： 本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(﹣ ， )，对称轴直线x=﹣ ，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质：①当a >0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上，x<﹣ 时，y随x的增大而减小;x>﹣ 时，y随x的增大而增大;x=﹣ 时，y取得最小值 ，即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下，x<﹣ 时，y随x的增大而增大;x>﹣ 时，y随x的增大而减小;x=﹣ 时，y取得最大值 ，即顶点是抛物线的最高点.也考查了旋转的性质.
23.(9分)(2014•泉州)课外阅读是提高学生素养的重要途径.某校为了了解学生课外阅读情况，随机抽查了50名学生，统计他们平均每天课外阅读时间(t小时).根据t的长短分为A，B，C，D四类，下面是根据所抽查的人数绘制的两幅不完整的统计图表.请根据图中提供的信息，解答下面的问题：
50名学生平均每天课外阅读时间统计表
类别 时间t(小时) 人数
A t<0.5 10
B 0.5≤t<1 20
C 1≤t<1.5 15
D t≥1.5 a
(1)求表格中的a的值，并在图中补全条形统计图;
(2)该校现有1300名学生，请你估计该校共有多少名学生课外阅读时间不少于1小时?
考点： 条形统计图;用样本估计总体;统计表
分析： (1)用抽查的学生的总人数减去A，B，C三类的人数即为D类的人数也就是a的值，并补全统计图;
(2)先求出课外阅读时间不少于1小时的学生占的比例，再乘以1300即可.
解答： 解：(1)50﹣10﹣20﹣15=5(名)，
故a的值为5，条形统计图如下：
(2)1300× =520(名)，
答：估计该校共有520名学生课外阅读时间不少于1小时.
点评： 本题主要考查样本的条形图的知识和分析问题以及解决问题的能力，属于基础题.
24.(9分)(2014•泉州)某学校开展“青少年科技创新比赛”活动，“喜洋洋”代表队设计了一个遥控车沿直线轨道AC做匀速直线运动的模型.甲、乙两车同时分别从A，B出发，沿轨道到达C处，在AC上，甲的速度是乙的速度的1.5倍，设t(分)后甲、乙两遥控车与B处的距离分别为d1，d2，则d1，d2与t的 函数关系如图，试根据图象解决下列问题：
(1)填空：乙的速度v2= 40 米/分;
(2)写出d1与t的函数关系式;
(3)若甲、乙两遥控车的距离超过10米时信号不会产生相互干扰，试探求什么时间两遥控车的信号不会产生相互干扰?
考点： 一次函数的应用
分析： (1)根据路程与时间的关系，可得答案;
(2)根据甲的速度是乙的速度的1.5倍，可得甲的速度，根据路程与时间的关系，可得a的值，根据待定系数法，可得答案;
(3)根据两车的距离，可得不等式，根据解不等式，可得答案.
解答： 解：(1)乙的速度v2=120÷3=40(米/分)，
故答案为：40;
(2)v1=1.5v2=1.5×40=60(米/分)，
60÷60=1(分钟)，a=1，
d1= ;
(3)d2=40t，
当0≤t≤1时，d2﹣d1>10，
即﹣60t+60﹣40t>10，
解得0 ;
当0 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰;
当1≤t≤3时，d1﹣d2>10，
即40t﹣(60t﹣60)>10，
当1≤ 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰
综上所述：当0 或1≤t 时，两遥控车的信号不会产生相互干扰.
点评： 本题考查了一次函数的应用，(1)利用了路程速度时间三者的关系，(2)分段函数分别利用待定系数法求解，(3)当0≤t≤1时，d2﹣d1>10;当110，分类讨论是解题关键.
25.(12分)(2014•泉州)如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC>BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上.
(1)已知：DE∥AC，DF∥BC.
①判断
四边形DECF一定是什么 形状?
②裁剪
当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论;
(2)折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由.
考点： 四边形综合题
分析： (1)①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值.
(2)第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1.
解答： 解：(1)①∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形.
②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，
∵∠ACB=45°，AC=24cm
∴AG= =12 ，
设DF=EC=x，平行四边形的高为h，
则AH=12 h，
∵DF∥BC，
∴ = ，
∵BC=20cm，
即： =
∴x= ×20，
∵S=xh=x• × 20=20h﹣ h2.
∴﹣ =﹣ =6 ，
∵AH=12 ，
∴AF=FC，
∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大.
(2)第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1.
理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
点评： 本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值.关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论.